「したつづみ」と読みます。「したづつみ」ではありません。ネットで検索かけますと、ごそっとヒットしますけどね。
舌鼓とは、あまりにもおいしいものを食べた時、はしたなくも「ったっ！」と舌で音を出してしまうことを言います。鼓（つづみ）とは「太鼓」のことです。舌で太鼓を鳴らすような音を出してしまうので「舌鼓」。
元来日本食では、麺類以外は食べる時に音を出しません。それがマナーとされてきましたが、あまりにもおいしいと「ったっ！」と身体が反応してしまい、このマナーを破ってしまうわけです。はしたないという意味ではなく、マナーを破ってしまうほどそれほどおいしいという賞賛辞です。
ちなみに、マイクロソフトのIME2000は「したづつみ」でも「したつづみ」でもどちらでも「舌鼓」と変換してくれます。これって、良いことなのでしょうか？よくわかりませんが。
「したづつみ」もわからないわけではありません。おいしいものを食べると舌が喜んで、その食べ物を「包む」というような感覚がありますし。
このように、言葉とは正しい正しくないにかかわらず進化していきます。大手サイトでも最近は平気で「見れる」とか書いてありますし。（ほんとは「見られる」ですね）しかし、本来はどうなのかを知っておくことはその言葉の本質を知る上で大切だと思います。